postgraduate student
аспирант
Geometry is one of the complex disciplines where many facts are interconnected. It is possible to develop the idea of facts interrelations through correlation using the duality principle. The duality principle is known in projective geometry, mathematical logic. This principle is clearly pronounced in one of the theorems of new triangle geometry. The traditional analytical geometry course does not study the facts of new triangle geometry. To reinforce many topics of the analytical geometry course, for example, “The distance between two points”, “The symmetrical form of the equation of a line”, “The angle between two lines”, it is reasonable to consider some facts from the new triangle geometry in the Cartesian coordinate system. Thus, an element of novelty is introduced to the reviewed material. The guidebooks on triangle geometry solve tasks through classical approaches or applying barycentric coordinates not using analytical geometry formulas. The paper proposes the constructing technique for the couples of exercises using the duality principle in the plane geometry teaching methods. Tasks are constructed for the Cartesian coordinate system as this allows demonstrating the duality of points in the drawings. In the composed exercises, two drawings are constructed in parallel columns. In different cases, the points can be the triangle-apexes, an orthocenter, or a height base. The initial triangle sides are located on the axes of coordinates, and their side lengths set up Pythagorean triple for better understanding the task-solving algorithm by the students. The symmetrical form of the equation of a line shows the necessity of analytical study since it is difficult to check the distance from the orthocenter to the orthotriangle sides in the drawings due to the small value. For many such information units, the aggregation relationships (whole-part) are set up, reflecting the geometric embedding of components.
Геометрия является одной из сложных дисциплин, в которых многие факты взаимосвязаны. Развить представление учащихся о взаимосвязях между фактами можно, проводя сопоставление при помощи принципа двойственности. Принцип двойственности известен в проективной геометрии, математической логике. Данный принцип ярко выражен в одной из теорем новой геометрии треугольника. В традиционном курсе аналитической геометрии не изучаются факты новой геометрии треугольника. Для закрепления многих тем курса аналитической геометрии, например «Расстояние между двумя точками», «Нормальное уравнение прямой», «Угол между двумя прямыми» и др., целесообразно рассмотреть на занятиях некоторые факты новой геометрии треугольника в декартовой системе координат. Таким образом, вносится элемент новизны в повторяемый материал. В пособиях по геометрии треугольника задания решают без применения формул аналитической геометрии, а именно классическими методами либо в барицентрических координатах. В статье предлагается методика составления пар упражнений с использованием принципа двойственности в методике преподавания планиметрии. Упражнения составляются для декартовой системы координат, так как это позволяет продемонстрировать на чертежах двойственность точек. В составленных упражнениях построены два чертежа в параллельных столбцах. Точки могут быть в разных случаях вершинами треугольника, центром вписанной окружности, основанием высоты. Стороны исходного треугольника располагаются на осях координат, и их длины сторон составляют пифагорову тройку для лучшего понимания учащимися алгоритма решения задачи. Нормальное уравнение прямой показывает необходимость аналитического исследования, поскольку расстояние от ортоцентра до сторон ортотреугольника сложно проверить на чертеже из-за малой величины. На множестве таких информационных единиц устанавливаются отношения агрегации (часть – целое), отражающие геометрическое вложение компонентов.